La nave de las derivadas

En un futuro no muy lejano, el aprendizaje se había vuelto algo completamente diferente a lo que conocemos hoy. Las aulas habían sido reemplazadas por naves espaciales que viajaban por el cosmos, llevando a los estudiantes a descubrir los secretos del universo y de la ciencia en formas inimaginables. La nave de Diego, David, Jhon, Laura y Rodolfo no era la excepción.

Estos cinco jóvenes eran parte de la Academia Espacial de Matemáticas, un lugar donde los números y las ecuaciones se mezclaban con la tecnología más avanzada. En este entorno futurista, cada lección se convertía en una experiencia inmersiva. Hoy, su misión era entender uno de los conceptos más complejos: las derivadas de funciones compuestas e inversas.

El profesor holográfico, que flotaba en medio del aula, comenzó la clase proyectando una gigantesca fórmula sobre las paredes de la nave. Las luces tenues del espacio exterior se filtraban por las ventanas, mientras hologramas de gráficos y curvas parpadeaban alrededor de los estudiantes.

—Hoy vamos a explorar cómo funcionan las derivadas de funciones compuestas e inversas —dijo el profesor—. Pero para entenderlo bien, primero necesitamos desglosar lo que significa.

Diego, que siempre había sido el más curioso, levantó la mano.

—¿Cómo podemos entender algo tan complicado? Nunca he visto funciones compuestas e inversas antes.

El profesor sonrió y lanzó un holograma de una gráfica frente a Diego.

—Es más simple de lo que parece, Diego. Vamos a empezar con una función compuesta. Imagínate que tenemos dos funciones, digamos f(x)f(x)f(x) y g(x)g(x)g(x). Si hacemos que una dependa de la otra, como f(g(x))f(g(x))f(g(x)), entonces tenemos una función compuesta.

En el aire, apareció una función proyectada:

h(x)=f(g(x))h(x) = f(g(x))h(x)=f(g(x))

—Para derivar esta función, usamos la regla de la cadena —continuó el profesor—. Esto significa que tomamos la derivada de fff con respecto a g(x)g(x)g(x), y luego multiplicamos eso por la derivada de g(x)g(x)g(x) con respecto a xxx.

Laura, que siempre había sido muy atenta a los detalles, inclinó la cabeza mientras analizaba la fórmula proyectada.

—Entonces, la derivada de h(x)h(x)h(x) sería la derivada de fff multiplicada por la derivada de g(x)g(x)g(x). ¿Así es?

El profesor asintió y proyectó la fórmula completa:

h′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)h′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)

—Exactamente. Este es el concepto clave detrás de las derivadas de funciones compuestas. Veamos un ejemplo. Supongamos que f(x)=sin⁡(x)f(x) = \sin(x)f(x)=sin(x) y g(x)=x2g(x) = x^2g(x)=x2. Para encontrar la derivada de h(x)=sin⁡(x2)h(x) = \sin(x^2)h(x)=sin(x2), primero tomamos la derivada de sin⁡(u)\sin(u)sin(u) con respecto a uuu, donde u=x2u = x^2u=x2, y luego multiplicamos por la derivada de x2x^2×2.

David, que siempre encontraba la lógica detrás de los números, comenzó a escribir mentalmente la respuesta mientras el holograma lo mostraba:h′(x)=cos⁡(x2)⋅2xh'(x) = \cos(x^2) \cdot 2xh′(x)=cos(x2)⋅2x

—Lo entiendo —dijo David—. Derivamos el seno de x2x^2×2, que es cos⁡(x2)\cos(x^2)cos(x2), y luego multiplicamos por la derivada de x2x^2×2, que es 2x2x2x.

El profesor sonrió.

—Exactamente, David. Así funciona la regla de la cadena. Ahora, vamos a explorar cómo funcionan las derivadas de funciones inversas.

El profesor hizo un gesto, y los hologramas cambiaron, mostrando una nueva ecuación.

—Con las funciones inversas, tenemos algo ligeramente diferente. Si tenemos una función f(x)f(x)f(x) y su inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x), queremos saber cómo se relacionan sus derivadas. La clave está en la fórmula siguiente:(f−1)′(x)=1f′(f−1(x))\left( f^{-1} \right)'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}(f−1)′(x)=f′(f−1(x))1​

Jhon, que había estado algo callado, finalmente habló.